Севастополь* 2014, 1-10 Мая



*В связи с последними событиями в Крыму, в этом году школа конференция проводится на базе пансионата "Ратмино" (г. Дубна Московской области). Сроки проведения школы: 1 - 10 мая 2014г.

 

Список секций:


1. Физика и математика модели Годена (Gaudin model)
2. Теория представлений и комплексная геометрия
3. Обратные задачи монодромии (Аналитическая теория)
4. Квантовая теория поля в кривом пространстве-времени
5. Гамильтонов подход к регулярным и сингулярным динамическим системам
6. Кластерные алгебры
7. Конформная теория поля
8. Знакочередующиеся матрицы, диаграммы Юнга, непересекающиеся пути и случайные процессы
9. Алгебраическая К-теория
10. Векторные расслоения
11. Геометрическое квантование
12. Теория струн

1. Физика и математика модели Годена (Gaudin model)


Модератор: Такаси Такебе

Список докладов по математической физике:
- определение модели Годена и классическая r-матрица. (Gaudin)
- точно решаемость = коммутативность трансфер матриц. (Gaudin)
- алгебраический Анзац Бете (Gaudin)
- разделение переменных по Склянину и функциональный Анзац Бете (Склянин)
Список докладов по по математике:
- модель Годена как WZW модель на критическом уровне (Б.Фейгин-Э.Френкель-Решетихин)
- асимптоты решений уравнения Книжника-Замолодчикова и Бетевские вектора (Варченко-Решетихин)
- бозонизация и Бетевские вектора (Ф-Ф-Р)
- разделение переменных по Склянину и geometric Langlands correspondence (Э. Френкель)


2. Теория представлений и комплексная геометрия


Модератор: Леонид Рыбников

Список докладов:
по Гинзбургу-Криссу
- Начала симплектической геометрии (требуются базовые знания анализа на многообразиях)
- Гомологии Бореля-Мура и свертка (требуются только базовые знания по топологии)
- Разрешение Спрингера (требуется знание теории полупростых алгебр Ли и начал алгебраической геометрии)
- Действие группы Вейля на гомологиях Бореля-Мура слоев разрешения Спрингера (топология+теория Ли)
- Эквивариантная К-теория и алгебры Гекке

по Маулику-Окунькову:
- Симплектические разрешения
- Колчанные многообразия Накаджимы
- Эквивариантные когомологии и локализация
- Янгианы и их R-матрицы
- Действие янгиана в эквивариантных когомологиях колчанного многообразия
- Подалгебры Бете в янгиане
- Подалгебры Бете как квантовые когомологии колчанных многообразий

3. Обратные задачи монодромии (Аналитическая теория)


Модератор: Владимир Побережный

Список докладов:
по голоморфным расслоениям и проблеме Римана-Гильберта:
- Голоморфные расслоения и логарифмические связности, связь с фуксовыми системами и ПРГ (Болибрух)
- Теорема Биркгофа-Гротендика
- (Полу-)стабильные расслоения и пары. Положительная разрешимость ПРГ для неприводимых расслоений. (Болибрух)
- (Полу-)стабильные расслоения и пары. Построение контрпримера к ПРГ (Болибрух)

по уравнениям Пенлеве:
- Особые точки ДУ в комплексной области и уравнения первого
порядка со свойством Пенлеве
- Алгебраические решения уравнения Пенлеве-6 (Боалч)
- Твисторная геометрия уравнения Пенлеве-6 (Хитчин)

по математической физике:
- Решение Проблемы Римана-Гильберта через фермионные корреляторы (Джимбо-Мива-Сато)
- Конформная теория поля и тау-функция уравнения Пенлеве-6 (Гамаюн-Иоргов-Лисовой)

4. Квантовая теория поля в кривом пространстве-времени


Модератор: Эмиль Ахмедов

Список докладов:
-Переход в ускоренную систему отсчета
-Диаграмма Пенроуза пространства Минковского
-Решение Шварцшильда
-Диаграмма Пенроуза для черной дыры
-Квантовые поля в кривом пространтсве
-Эффект Унру
-Эффект Хокинга

Литература:
Ландау, Лифшиц, 2й том
Poisson, Relativist’s Toolkit
Raine, Thomas, Black Holes

5. Гамильтонов подход к регулярным и сингулярным динамическим системам


Модератор: Павел Сапонов

Список докладов:
-Гамильтонов формализм классической механики: скобки Пуассона, гамильтониан, интегралы движения и симметрии механической системы.
Литература:
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Курс теоретической физики, т. I ``Механика'', 4-е издание, Москва, Наука,, 1988 г., глава VII.
Борисов А.В., Мамаев И.С., Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике, изд. Удмурдского университета, 1999 г., Глава I, параграф 1, пп. 1-4.

- Гамильтонов формализм для сингулярных динамических систем: проблема перехода к гамильтонову формализму, связи и их классификация, динамика, калибровочные условия, скобка Дирака. Системы с бесконечным числом степеней свободы (полевые) как пример.
Литература:
П.А.М. Дирак, ``Лекции по квантовой механике'' в книге ``Лекции по теоретической физике'', Ижевск, 2001 г.
Гитман Д.М., Тютин И.В., Каноническое квантование полей со связями'', Москва, Наука, 1986 г., Главы 1 и 2.
Hanson A., Regge T., Teitelboim C, Constrained Hamiltonian Systems, Accad. Natzonale dei Lincei, Roma, 1976 г.
E.C.G. Sudarshan, N. Mukunda, Classical Dynamics: a Modern perspective, 1974 г., chapter 8.

6. Кластерные алгебры


Модераторы: Андрей Маршаков, Сергей Хорошкин

Список докладов:
- Пространства флагов, грассманианы, плюккеровы координаты, клетки Шуберта.
Литература:
У.Фултон, Таблицы Юнга и их приложения к теории представлений и геометрии;
И.Шафаревич, А.Ремизов, Линейная алгебра и геометрия
Ф.Гриффитс, Дж.Харрис, Принципы алгебраической геометрии, т.1
M. Brion, Lectures on geometry of flag varietes

- Кластерная структура на грасманианах. Грассманиан двумерных плоскостей и триангуляции многоугольника.
Литература:
S.Fomin, A.Zelevinsky, math/0104151
J.Scott, Grassmannians and Cluster Algebras, math/0311148

- Теория кластерных алгебр по Фомину-Зелевинскому: мутации, феномен Лорана, кластерные алгебры конечного типа.
Литература:
S.Fomin, A.Zelevinsky, math/0311493, math/0104151, math/0208229

- Клеточное разбиение Брюа простой комплексной группы. Клетки Брюа; двойные клетки Брюа.
Кластерная структура на простой группе Ли и положительно определенных матрицах.
Литература:
Дж.Хамфри, Линейные алгебраические группы;
S.Fomin, A.Zelevinsky, math/0311493, math/0407414, math/9912128

- Пространство Тейхмюллера и его кластерная структура.
Литература:
V.Fock, A.Goncharov arXiv:math/0510312

- Кластерные многообразия по Фоку-Гончарову.
Литература:
V.Fock, A.Goncharov arXiv:math/0508408, math/0311245

- У-система Замолодчикова. Литература:
Al. B. Zamolodchikov, On the thermodynamic Bethe ansatz equations for reflectionless 𝐴𝐷𝐸 scattering theories, Phys. Lett. B 253 (1991), no. 3-4, 391–394. Phys. Lett. B 253 (1991), no. 3-4, 391–394.
S.Fomin, A.Zelevinsky, arXiv:hep-th/0111053?

- Пуассонова структура на пространстве плоских связностей по Фоку-Рослому. Полюбли Литература:
V.V.Fock, A.A.Rosly, Poisson structure on moduli of flat connections on Riemann surfaces and $r$-matrix arXiv:math/9802054
- Дилогарифм. Квантовый дилогарифм. Квантование пространства Тейхмюллера.
Литература:
Goncharov, math/0103059
Chekhov, Fock arXiv:math/9908165
Fock, Goncharov math/0311245
Kashaev q-alg/9705021

См. также информацию на портале кластерных алгебр
http://www.math.lsa.umich.edu/~fomin/cluster.html

7. Конформная теория поля


Модератор: Павел Гавриленко

Список докладов:
Темы для обязательного изучения:
- Определение конформных преобразований, конформная группа в двух измерениях, автоморфизмы CP1 (глобальные преобразования). (Di Francesco p. 111)
- Безмассовый бозон в двумерии, симметрии теории, операторные разложения. (Di Francesco, p. 159)
- Симметрии и тождества Уорда (Di Francesco, p. 118)
- Выражение для тензора энергии импульса безмассового бозона, операторное разложение T(z)T(w). (Di Francesco, p. 129)
- Безмассовые фермионы в двумерии. (Di Francesco, p. 168)
- Связь операторных произведений и коммутаторов. Соотношения в алгебре Вирасоро. (Di Francesco p. 151)
- Восстановление всех корреляторов по трёхточечным. Конформный блок. (Di Francesco p. 663)
Дополнительные темы:
- Бозонизация. Связь sin-Гордона и Тирринга. (Di Francesco, p. 447)
- Алгебра Каца-Муди на примере N копий безмассовых фермионов. (Di Francesco, p. 652, 647)
- Корреляторы в CFT на цилиндре.
- Точное решение модели Изинга, нахождение конформных размерностей операторов (1012.2856, Di Francesco p. 439).
- Вырожденные поля, минимальные модели (Di Francesco, p.200).
- Точные конформные блоки в модели Ашкина-Теллера (Zamolodchikov-Zamolodchikov. 301).

8. Знакочередующиеся матрицы, диаграммы Юнга, непересекающиеся пути и случайные процессы.


Модераторы: Евгений Смирнов, Александр Поволоцкий

Список докладов:

-Напоминание о разбиениях: q-биномиальные коэффициенты, производящая функция и пентагональная теорема Эйлера, тождество Якоби для тройного произведения [B, Sm]
-Плоские разбиения (plane partitions, PP). Непересекающиеся пути, детерминантная формула Линдстрема-Гесселя-Вьенно, формула Макмагона в конечном и предельном вариантах [B, Sm]
-Многочлены Шура. Доказательство гипотезы Макмагона о симметричных плоских разбиениях (SPP). [B, St]
-Гипергеометрические функции. Циклически симметричные плоские разбиения (CSPP). Гипотеза Макдональда о производящей функции для CSPP; ее доказательство (Миллс, Роббинс, Рамси). [B]
-Знакочередующиеся матрицы (alternating sign matrices, ASM). ASM-гипотеза. Вполне симметричные самодополнительные плоские разбиения (TSSCPP). Число TSSCPP как пфаффиан. [B]
-гипотеза Зельбергера о “Гог-Магог-соответствии” и сведение к ней ASM-гипотезы. [B]
-Квадратный лёд, уравнение Янга-Бакстера, статсумма Изергина-Корепина, доказательство ASM-гипотезы по Г.Купербергу [K]
-Таблицы Юнга и случайные перестановки. Соответствие Робинсона Шенстеда Кнута. Игра в пятнашки. Формула Крюков. [S]
-Замощения ацтекского брильянта доминошками (подсчет числа состояний, связь с непересекающимися путями и квадратным льдом).[EKLP,vM,For]
-Теорема об арктическом круге на ацтекском брильянте. Замощение доминошками и системы перемежающихся частиц. [FF, J1,vM,For]
-Задача о распределении пути, пройденного частицей, в простом асимметричном процессе с запретами, случайном росте границы и выборе максимально долгого пути. [Krug, J2,vM,For]
-Теорема Гесселя-Вьенно и задача о выживании недружелюбных и дружелюбных пешеходов. [F,GOV]

Литература:

[B] D.Bressoud, Proofs and confirmations, MAA, 1999
[K] G.Kuperberg, Another proof of the alternating sign matrix conjecture, arXiv:math/9712207 [math.CO]
[Sm] Е.Ю.Смирнов, Диаграммы Юнга, плоские разбиения и знакочередующиеся матрицы. М.: МЦНМО, 2014
[St] Р.Стенли. Перечислительная комбинаторика, том 2. М.: Мир, 2009
[S] Sagan, B. E. (2001). The symmetric group: representations, combinatorial algorithms, and symmetric functions (Vol. 203). Springer.
[For] Forrester, P. J. (2010). Log-gases and random matrices (LMS-34). Princeton University Press. [vM] van Moerbeke, P. (2011). Random and integrable models in mathematics and physics. In Random Matrices, Random Processes and Integrable Systems (pp. 3-130). Springer New York. [EKLP] Elkies, N., Kuperberg, G., Larsen, M., & Propp, J. (1992). Alternating-sign matrices and domino tilings http://arxiv.org/abs/math/9201305
[FF] Fleming B. J., Forrester P. J. Interlaced particle systems and tilings of the aztec diamond, http://arxiv.org/abs/1004.0474
[J1] Johansson K, The arctic circle boundary and the Airy process http://arxiv.org/pdf/math.PR/0306216
[KK] T Kriecherbauer, J Krug, A pedestrian's view on interacting particle systems, KPZ universality and random matrices, http://arxiv.org/abs/0803.2796
[J2]Johansson, K. (2000). Shape fluctuations and random matrices. http://arxiv.org/abs/math/9903134
[F] Michael E. Fisher, Walks, walls, wetting, and melting, Journal of Statistical Physics, Volume 34, Issue 5-6, pp 667-729
[GOV]Guttmann, A. J., Owczarek, A. L., & Viennot, X. G. (1998). Vicious walkers and Young tableaux I: without walls. Journal of Physics A: Mathematical and General, 31(40), 8123.]

9. Алгебраическая К-теория.


Модератор: Антон Хорошкин

Список докладов:
-The Picard group of a ring; ch. I p.15
-Topological vector bundles and Chern classes; ch. I p.26
-Algebraic vector bundles; ch. I p.38
-K_0 of a ring; ch. II p.5
-K(X) of a topological space; ch. II p.17
-Lambda and Adams operations;ch. II
-K_0 of a symmetric monoidal category; ch. II p.37
-K_0 of an abelian category; ch. II p.45
-K_0 of an exact category; ch. II p.59
-K_0 of schemes and varieties; ch. II p.74
-K_0 of a Waldhausen category; ch. II p.85
-K_1 of a ring; ch. III p.1
-Relative K_1; ch. III p.13
-the Fundamental Theorems for K_1 and K_0; ch. II p.17
-The BGL+ definition for Rings; ch. IV p. 2
-Symmetric monoidal categories; ch. IV p.35
-λ-operations in higher K-theory; ch. IV p.46
-Quillen's Q-construction for exact categories; ch. IV p.52
-The ``+=Q'' theorem; ch.IV p.60
-Waldhausen's wS. construction; ch.IV p.65
-Homotopy K-theory; ch.IV p.88
-The Additivity theorem; ch.V p. 1
-Waldhausen localization and Approximation ch.V p. 11
-The Resolution theorems and transfer maps; ch.V p.19
-Devissage; ch.V p.32
-The Localization Theorem for abelian categories; ch.V p.34
-Applications of the Localization Theorem; ch.V p.37

Литература:

Все темы по книге Вебеля по алгебраической К-теории:

10. Векторные расслоения


Модератор: Алексей Городенцев

11. Геометрическое квантование


Модератор: Алексей Городенцев

12. Теория струн


Модератор: Эмиль Ахмедов